■九九で現れる数字は36種類について
a×b (1≦a≦9,1≦b≦9)
について現れる数字を単純に考えると、
9×9 = 81通り
ですが、交換法則が成り立つので、
a×b = b×a
は同じものとして1通りで数えなければならないので、2で割ることにします。
ただし、b = aである場合、a×aは1通りしか含まれません。
なので、1×1, 2×2, ……, 9×9の9通りについて、割る前に9通りを足しておきます。
よって、
(81 + 9) ÷ 2 = 45通り
これが予想される数ですが、実際にはこれよりも9通り少ない36通りです。
なら、どこかで9通り重複しているはずです。
1から9までの数の約数を考えます。
ここから分かることは、4,6,8,9について、
- 4: 1×4 = 2×2
- 6: 1×6 = 2×3
- 8: 1×8 = 2×4 = 2×2×2
- 9: 1×9 = 3×3
の複数の組み合わせが存在するということです。
乗数が4,6,8,9、被乗数が1,2,3,4,6,8,9とした組み合わせの場合、異なった乗算で表現できるかもしれません。
調べた結果
- 4×1 = 1×2×2 = 2×2
- 4×2 = 1×2×2×2 = 1×8
- 4×3 = 1×2×2×3 = 2×6
- 4×4 = 1×2×2×2×2 = 2×8
- 4×6 = 1×2×2×2×3 = 3×8
- 4×8 = 1×2×2×2×2×2 (不適)
- 4×9 = 1×2×2×3×3 = 6×6
- 6×1 = 1×2×3 = 2×3
- 6×2 (= 4×3)
- 6×3 = 1×2×3×3 = 2×9
- 6×4 (= 4×6)
- 6×6 (= 4×9)
- 6×8 = 1×2×2×2×2×3 (不適)
- 6×9 = 1×2×3×3×3 (不適)
- 8×1 (= 4×2)
- 8×2 (= 4×4)
- 8×3 (= 4×6)
- 8×4 (= 4×8)
- 8×6 (= 6×8) (不適)
- 8×8 = 1×2×2×2×2×2×2 (不適)
- 8×9 = 1×2×2×2×3×3 (不適)
- 9×1 = 1×3×3 = 3×3
- 9×2 (= 6×3)
- 9×3 = 1×3×3×3 (不適)
- 9×4 (= 6×6)
- 9×6 = 1×2×3×3×3 (不適)
- 9×8 (= 8×9) (不適)
- 9×9 = 1×3×3×3×3 (不適)
以上、9通りが重複していました。
めでたしめでたし。
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