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とりあえず後者だけ解いたぞ。
半径1の円とそれに内接する正12角形を考える。
このとき明らかに正12角形の辺の和は2πより小さいので
π > 6*sqrt{2(1-cos(π/6))}…(a)
今π>3.05を示したいので、π<3.05として矛盾を示す。
π < 3.05なら(a)より
6*sqrt{2(1-cos(π/6))} < 3.05…(b)
辺々を二乗して整理すると
sqrt{3} > 2-9.3025/36
さらに辺々を二乗すると
3 > (2-9.3025/36)^2 = 4 - 9.3025/18 + (9.3025/36)^2
だから
1 < 9.3025/18 - (9.3025/36)^2
となる。これは明らかに矛盾するので(b)は正しくない。
よって背理法によりπ>3.05が示された。 ■
かなり余裕を持って示されてしまった感じがするけど本当にあってるかはわかんない。
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