コホモロジーは、数学の中のとても難しい概念ですが、小学生にわかりやすく説明するために、一緒に想像の旅に出かけてみましょう。
まず、コホモロジーは、ある種の「形」や「パターン」を見つけるための道具と考えてみてください。例えば、あなたが宝探しをしていて、地図があるとします。この地図は、宝物がどこにあるかを示しています。しかし、この地図はただの紙切れで、宝物自体は地図にはありません。でも、地図を使って、宝物のありかを見つけることができますよね。
コホモロジーも同じようなものです。コホモロジーは、数学的な「地図」のようなもので、それを使って、数学の世界に隠された「宝物」を見つけることができます。この「宝物」は、数学の中の特定のパターンや形、構造などを指します。
しかし、コホモロジーはとても複雑で、大人でも理解するのが難しいです。だから、小学生のあなたがすぐに理解できなくても大丈夫です。大切なのは、コホモロジーのような難しい概念に挑戦する勇気と、学び続ける意欲を持つことです。これからも、色々なことに興味を持ち、学び続けてくださいね！。

これじゃあ、なにも理解していないのと同じでしょう。結局、深淵を理解するためには地道な努力が必要です。

理論構築者の観点からみると、数学は登山に似ていると思います。

コホモロジーにたどり着くためには、集合論、群論、位相幾何学、ホモロジー理論と順を追っていかなければならないのです。

これまでの私は、理論構築者ではなく、問題解決者だったので、「問題」という単位で物事を理解してきました。

アルゴリズムなので、問題を解くための前提知識はさほど必要なく、むしろ必要なのは IQです。

ところが、ラングランズプログラムや超弦理論といった深淵は、IQに加えて、山登りの体力や努力や時間が必須になります。

しかも、仮に山を登り終えたとしても、プログラマーの仕事としてなんの役にも立たないのです。

深淵に取り組むというのは、そういう廃人的な努力を必要とするので、職業的な数学者でない限り努力の誘因が失われてしまいます。

深淵な登山をして、誰にも認められることなく自己満足して、何が楽しいのでしょうか。

結局、理解した物事を外側に発信(例えば論文執筆)して社会との接点を作らなければ、本当の廃人になってしまうでしょう。

まあ、廃人日記を書くぐらいだから、それでもいいんですけどね。

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2023-10-05

■[勉強日記] 数学は楽しい

今日は「演習で学ぶ科学のための数学」という本を一通りやり終えました。薄い本ですが線形代数・微分積分の基礎からフーリエ変換まで書かれています。

これぐらい薄い本だと、計算問題を具体的に解こうとしない限りは一日で読み終えることができます。私はいつも計算問題を見ると、sage mathというツールを使えば解けるのになぁと思ったりします。

さて、最近の調子はどうかというと、インターネットの楽しみが増してきました。

「数学の複数の概念を繋げたらどうなるのか」という興味に基づいてグーグル検索するととても面白いのです。

調和解析と数論を繋げるような深淵的なものから、とりあえず繋がっただけという表面的なものまであります。

複数のドメインを繋げる際の「センス」について素人なので、どの繋がりが本質的なのかを見抜くことがまだまだできていない気はします。

atcoder的な問題解決者ではなく、コホモロジー的な理論構築の観点から深淵を覗きたいのです。

最先端のトピックが概ね英語で書かれていることが多いので、読む際に翻訳にかけなければスラスラと読めないのが少し難点です。

ところで「笑わない数学」という番組を知りました。私が最初に見たのは確率論に関するエピソードでしたが、昨日やっていたのは非ユークリッド幾何学でした。

テレビとTwitterの連動性はよく知られていますが、こういう番組に対して視聴者が持つ感想を眺めるのが面白いです。

低コストで飽きない趣味としては、数学はとても良い題材だと思います。

ファインマンさんが言うように、誰かに教えるときに学習効果が最大化されるという面もあるので、いずれブログを書いてまとめたいです。

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2021-08-02

■[増田統計]2021年 8月1日 日曜日の増田

時間	記事数	文字数	文字数平均	文字数中央値
00	111	13178	118.7	51
01	88	8475	96.3	47.5
02	53	8462	159.7	56
03	34	4480	131.8	76.5
04	14	2578	184.1	91
05	19	2451	12 9.0	89
06	13	9523	732.5	107
07	86	5122	59.6	35
08	100	10083	100.8	45
09	118	11696	99.1	43.5
10	156	13150	84.3	44.5
11	117	19813	169.3	37
12	108	17460	161.7	51.5
13	134	14465	107.9	39.5
14	96	8250	85.9	45
15	128	12298	96.1	40
16	133	11197	84.2	30
17	126	17910	142.1	47
18	117	8731	74.6	35
19	154	11935	77.5	40
20	168	15393	91.6	35
21	138	11273	81.7	37
22	170	11497	67.6	33.5
23	159	10344	65.1	28
1日	2540	259764	102.3	40

本日の急増単語 ()内の数字は単語が含まれる記事数

チートイツ(6), トイトイ(5), クンマー(6), ジャンボタニシ(4), BMX(4), ジェルマン(5), 府県境(4), 教員養成課程(3), 累犯障害者(3), 四暗刻(3), コホモロジー(4), IQ(58), 副反応(11), 夏休み(16), 反日(9), 出場(8), MMT(8), ω(15), ギャル(10), 活発(7), 東京五輪(10), 暑い(14), 競技(17), 帰省(11), 異世界(11), 打っ(30), インフレ(9), 接種(31), 五輪(39), ワクチン(73), オリンピック(61), 株(22), 選手(22), 中止(21), 指(12), 高齢者(13)

頻出トラックバック先 ()内の数字は被トラックバック 件数

■犯罪者は「IQが"中の下"の男性」に集中している /20210731183707(28), (タイトル不明) /20 110801175143(17), ■東京都内で在宅勤務してるけど、一般人のコロナ慣れがヤバい /20210729190251(16), ■推し Vtuberのライブ見ない自称ファンってなんだ /20210731 233702(15), ■明日からの出社が怖くて吐きそう /20210801113329(14), ■20年も働いてるのに昇給したの１万ぐらい /20210801005012(13), ■ネットのコンテンツが全部横並びになってつまんねえなって思わない？ /20210731195223(12), ■コロナで暇だからラノベ原作の異世界物アニメをパターン分類してみた /202108011 33351(11), ■男だけどフェミニズムに感謝している /202108011 11224(11), ■彼女の飼い猫が彼女に寄り付かなくなった /20210801002353(10), ■アルコール飲料で水分補給はできません！水やスポドリを飲みましょう /20210731130719(8), ■ /20210731 204411(8), ■女性は弱者男性にだけ冷たいわけじゃない /20210731150157(8), ■未婚率が上がってる理由って「女が調子乗ってるから」だよな？ /20210801225202(7), (タイトル不明) /20210801190355(7), (タイトル不明) /20210801225451(6), ■大企業で内製が無理な理由 /202108010 11405(6), ■ /20210801090437(6), ■20代だが、ビートたけしを面白いと思ったことがない。 /202108011 10936(6), ■何故『トランスジェンダー』を受け入れないのに『LGBT』には理解を示す女性が多いのか？という話。 /202108011 31905(6), ■地方移住したけど /20210801165926(6), ■セックスワーカーを差別するなってツイートを結構見かけるんだけどさ /20210801205140(6), ■ 原爆の日　五輪で黙とうなし　広島市、IOCに要請も「閉会式で共有」 /20210801205621(6)

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2021-07-16

■anond:20210716132337

X を非特異な複素射影多様体とすると、X 上のすべてのホッジ類は、

X の複素部分多様体のコホモロジー類の

有理数係数の線形結合となるのではないか

解いて解いて

精神障害者の無職ならもしかしたらUFOと交信して解けるかもしれねえじゃん？

Permalink | 記事への反応(0) | 13:26

2021-06-20

■anond:20210620164225

とはいえドラームコホモロジーが使われてるのかと言われると難しいものがある

Permalink | 記事への反応(0) | 16:46

2020-06-30

■anond:20200630050724

1つめ: ただの対数法則。高校生でもわかる

2つめ: 連立一次方程式の解法。理系大学生なら誰でも知ってるし、N=2や3なら中学生でもわかる

3つめ: いわゆるKroneckerの青春の夢。類体論の特別なケース。整数論の専門家なら知ってる

4つめ: Lefschetzの固定点定理（のl進コホモロジー版）。数論幾何の専門家なら知ってる

5つめ: なんの意味もないデタラメな文

Permalink | 記事への反応(0) | 07:29

2020-06-29

■anond:20200629153146

どうせほとんどの読者は高校数学さえ理解していないのだから、何を解説したって数学の本質的な理解は無理なのかもしれない

彼らには、以下はどれも同じに見えている

正の数X, Yに対して、log(XY) = log(X) + log(Y)

N元N次一次方程式は、N次正方行列AとN次元の列ベクトルx, bを用いて、Ax=bと書ける。
この方程式が一意的に解けるためには、Aの行列式が可逆であることが必要十分。

虚二次体の有限次Abel拡大は、1のべき根と、楕円モジュラー函数の特殊値と、虚数乗法を持つ楕円曲線の等分点の座標で生成される。

Xを位数q=p^mの有限体F_q上のn次元非特異射影代数多様体、Y=X×_{F_q}(F_qの代数閉包)とすると、
#X(F_q) = ∑[i=0, 2n](-1)^i Tr(F_q, H^i(Y, Q_l))。
ここでF_qはFrobenius写像、H^i(Y, Q_l)はi次l進エタールコホモロジー（l≠p）。

Cをダークマターの作用を持つN次元クリスタル、Xをそのアトラクターとすると、XからCへの次元変換Fは、固有なファクター方程式
F = F_1 ⊕ ... ⊕ F_N
を満たす。

仮に全編にわたって無意味なことを書いてもおそらく判別できないだろう。

Permalink | 記事への反応(2) | 19:30

2020-06-22

■一方はふつうの数学の文章。もう片方は全くデタラメな文章 である

一方は正しい数学の文章である。もしかしたら間違っているかも知れないが、少なくとも数学的に正しいか間違っているかが判定できる。

もう一方は完全に出鱈目な文章である。数学的に何の意味もない支離滅裂なものである。

文章1

本稿を通して、kは代数閉体とする。

k上の射影直線ℙ^1から射影平面ℙ^2への射

i: [x: y] → [x^2: xy: y^2]

を考える。iの像は、ℙ^2の閉部分スキーム

Proj(k[X, Y, Z]/(Y^2 - XZ))

と同型であり、iはℙ^1のℙ^2への埋め込みになっている。ℙ^2の可逆層O_{ℙ^2}(1)のiによる引き戻しi^*(O_{ℙ^2}(1))は、ℙ^1の可逆層O_{ℙ^1}(2)である。つまり、O_{ℙ^1}(2)はℙ^1のℙ^2への埋め込みを定める。

与えられたスキームが射影空間に埋め込めるかどうかは、代数幾何学において重要な問題である。以下、可逆層と射影空間への射の関係について述べる。

定義:

Xをスキームとし、FをO_X加群の層とする。Fが大域切断で生成されるとは、{s_i∈H^0(X, F)}_{i∈I}が存在して、任意の点x∈Xに対して、ストークF_xがO_{X,x}加群としてs_{i,x}で生成されることである。

Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層で大域切断で生成されるものとする。d + 1 = dim(H^0(X, L))とし、s_0, ..., s_dをH^0(X, L)の生成元とする。このとき、Xからk上の射影空間ℙ^dへの射fが

f: x → [s_0(x): ...: s_d(x)]

により定まり、ℙ^dの可逆層O_{ℙ^d}(1)のfによる引き戻しf^*(O_{ℙ^d}(1))はLになっている。この射が埋め込みになるとき、Lをベリーアンプルという。生成元の取り方に寄らない定義を述べると、以下のようになる。

定義:

Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがベリーアンプルであるとは、k上の射影空間ℙ^dと埋め込みi: X → ℙ^dが存在して、L～i^*(O_{ℙ^d}(1))となることである。

例として、ℂ上の楕円曲線（種数1の非特異射影曲線）Eを考える。閉点p∈Eと自然数n≧1に対して、因子pに付随する可逆層O_{E}(np)={f∈K(E)| np + (f)≧0}を考える。Riemann-Rochの定理より、

dim(O_{E}(np)) - dim(O_{E}(K - np)) = deg(np) + 1 - g = n

∴ dim(O_{E}(np)) = n + dim(O_{E}(K - np))

であり、楕円曲線上の正則微分形式は零点も極も持たないから、すべてのnに対してdeg(K - np)＜0であり、よってdim(O_{E}(K - np))=0。

∴ dim(O_{E}(np)) = n

n = 1の場合、O_{E}(p)はベリーアンプルではない。n = 2の場合も、よく知られたように楕円曲線は射影直線には埋め込めないから、O_{E}(2p)もベリーアンプルではない。n≧3のとき、実はO_{E}(np)はベリーアンプルになる。

この例のように、Lはベリーアンプルではないが、自身との積を取って大域切断を増やしてやるとベリーアンプルになることがある。その場合、次元の高い射影空間に埋め込める。

定義:

Xをk上のスキーム、LをX上の可逆層とする。十分大きなnに対して、L^⊗nがベリーアンプルとなるとき、Lをアンプルであるという。

与えられた可逆層がアンプルであるか判定するのは、一般的に難しい問題である。アンプルかどうかの判定法としては、Cartan-Serre-Grothendieckによるコホモロジーを用いるものと、Nakai-Moishezonによる交点数を用いるものが有名である。

定理(Cartan-Serre-Grothendieck):

XをNoether環上固有なスキーム、LをX上の可逆層とする。Lがアンプルであるためには、X上の任意の連接層Fに対して、自然数n(F)が存在して、

i≧1、n≧n(F)ならば、H^i(X, F⊗L^⊗n) = 0

となることが必要十分である。

定理(Nakai-Moishezon):

Xをk上固有なスキーム、DをX上のCartier因子とする。可逆層O_{X}(D)がアンプルであるためには、Xの任意の1次元以上の既約部分多様体Yに対して、

D^dim(Y).Y＞0

となることが必要十分である。

文章2

kを体とし、Xをk上の代数多様体とする。Xに対して、環E(X)が以下のように定まる。E(X)は

E(X) = E_0⊕E_1⊕E_2⊕...

と分解し、各E_dはXのd次元部分多様体のホモトピー同値類からなるk上のベクトル空間であり、d次元部分多様体Yとe次元部分多様体Zに対して、[Y]∈E_d, [Z]∈E_eの積は、代数多様体の積の同値類[Y×Z]∈E_{d+e}である。この積は代表元Y, Zの取り方によらず定まる。各E_dの元のことを、d次元のサイクルと呼ぶ。

このE(X)をXのEuclid環という。Euclid環の名称は、Euclidによる最大公約数を求めるアルゴリズムに由来する。すなわち、任意のサイクル[Y], [Z]∈E(X) ([Z]≠0)に対して、あるサイクル[Q], [R]∈E(X)が一意的に存在して、

・[Y] = [Q×Z] + [R]

・dim(R)＜dim(Z)

が成り立つためである。ここで、[R] = 0となるとき、[Z]は[Y]の因子であるという。

dim(X) = nとする。d≧n+1を含むE_dを上述の積の定義により定める。すなわち、任意のサイクルz∈E_dは、Xのd次元部分多様体Zが存在してz = [Z]となっているか、d = e + fをみたすe, fと、[E]∈E_e、[F]∈E_fが存在して、z = [E×F]となっている。後者のように低次元のサイクルの積として得られないサイクルを、単純サイクルまたは新サイクルという。

このとき、k上の代数多様体X_∞で、任意の[Z]∈E(X)に対して、[X_∞×Z] = [X_∞]、[X_∞∩Z] = [Z]∈E(X)となるものが存在する。このX_∞をXの普遍代数多様体と呼び、E~(X) = E((X))⊕k[X_∞]をE(X)の完備化または完備Euclid環という（ただし、E((X)) = {Σ[d=0,∞]z_d| z_d∈E_d}）。完備Euclid環の著しい性質は、Fourier級数展開ができることである。

定理:

各dに対して、単純サイクルからなる基底{b_{d, 1}, ..., b_{d, n(d)}}⊂E_dが存在して、任意のf∈E~(X)は

f = Σ[d=0,∞]Σ[k=1,n(d)]a_{d, k}b_{d, k}

と表される。ただし、a_{d, k}はHilbert-Poincaré内積(f = [Z], b_{d, k})=∫_{b}ω^d_{X_∞}∧[Z]で与えられるkの元である。

Xとしてk上の代数群、つまり代数多様体であり群でもあるものを考える。このとき、Xの群法則はX×XからXへの有理写像になるから、完備Euclid環上の線形作用素を誘導する。この作用素に関しては、次の定理が重要である。

定理(Hilbert):

Xがコンパクトな代数群であれば、完備Euclid環に誘導された線形作用素は有界作用素である。

以下の定理は、スペクトル分解により単純サイクルによる基底が得られることを主要している。

定理(Hilbert):

上述の定義における単純サイクルによる基底は、完備Euclid環の固有自己作用素の固有ベクトルになる。

Permalink | 記事への反応(2) | 20:44

2020-06-03

■双対空間の具体例って何？

内積を取る線形 汎関数

Vを内積(・,・)をもつn次元ベクトル空間としv∈Vを任意の元とすると、w∈Vに対して(v, w)を対応させる写像は線形汎関数であって、この写像の全体はn次元ベクトル空間になるからV*と同型

■ババアが非モテとかいう謎

本当に男が求めてるのは、お母さんなわけ。

スナックのママとかさ。

本当に男は辛いのよ、正面から、社会というか、自然の厳しさ。

人間が苦しむことを神に決定ずけられているところで、兵士にならなきゃいけない。

そういう人間が求めるものは、奥さんからの安らぎだったり、子供とか。

だけど、現実は厳しい。頑張っても結婚できない、彼女ができない層がいる。自分がそうなんだけど。

そういう時に、じゃあ、キャバクラ行って、若いねーちゃん？熟女キャバクラ？行くんだけどさ。

楽しくねーの。

そら、会話はあるよ。それはまあ欲しいけど。

違うのよ、マジでつまんねーの。

フランダースの犬とか、ムーミンとか、ルパン三世とか、下手したらナメック星が通じないの。

別にさ、サーストン幾何とか、フレアーコホモロジーを理解しろとは言わないよ。そこまでの趣味は無理だと思う。

でもさ、共通見解というか、世界観というか。

自分の子供の頃は、洋物とかいう海外のエロが貴重扱いだったとか、

「世代の空気感」とかは、せめて共有したいのよ。

若者文化に合わせて、バンギャだの、リズリサだの、マイメロだの、あいみょんだの、賭ケグルイだの、勉強しますけどね。

でもさ、無理やり合わせても、それはさ、浅いのよ。

僕の知識も浅いし、女の子の人生も浅い。

一方、スナックのママ。会話面白いねえ。おじいさんが出兵した時の話とか聞いてね。

そういう事なんだよなー。

これは、若い子は一生かかっても共有できないところ。

普通は、結婚相手とそういうのやるのかもしれないけど、

結婚できないオッサンは、ババアを求めるけどねー。

まあ、優良ババアは、優良オッサンがとっくに妻としちゃってるけどねー。

Permalink | 記事への反応(0) | 22:43

2018-09-02

■ガロア理論って何の役に立っているの？

https://ja.m.wikipedia.org/wiki/ガロア理論
グロタンディークのガロア理論において古典的なガロア理論は次のように理解される。K上のエタール代数はアフィンスキーム Spec(K) の上のエタール層を表しており、
埋め込みK → K sep に対応する射 Spec(K sep) → Spec(K) が表す「点」でのファイバーをとることに対応する関手 FK sep: A → HomK(A, K sep)が、
圏同値 : Spec(K) 上のエタール層の圏 EtK≡ G が連続的に作用する集合の圏 BG をひき起こしている。また、絶対ガロア群はこのファイバー関手の自己同型群として実現されており、
特定の公理を満たしている関手 {\displaystyle \operatorname {F} _{K^{\mathrm {sep} }}:\operatorname {Et} _{K}\to (\mathrm {Sets} )} からガロア群を復元できることが分かる。
また、上の圏同値によって、体 K上のガロアコホモロジーは、Spec(K) 上のエタール・コホモロジー理論と同値となる。