■anond:20220731191604

よく分からんのもあって、答え見たらあーそうかって感じだった。一回答え見てパターンを思い出したらある程度はできるようになるでしょ。

ただこれは詰将棋みたいなもんで、この局面は因数分解できますよって言われたら探せるかもしれないけど、実戦で出てくる分解可能かどうか分からん複雑な式を整理できる自信はあまりないなあ。

こういうのは今どきMathematicaにやらせればいいんじゃないかって気もする。

せっかくなのでもう少し抽象化した知識として頭に入れておくことを試みたい。

最初よく分からなかった問題7(2)を取り上げる。

4a^2 - 9b^2 + 6bc - c^2

3変数の2次式なわけだが、そのような式は一般に、 x := (a,b,c)^T, 係数行列A, 係数ベクトルB, スカラーC として

x^T A x + B^T x + C

と書ける。これが因数分解できる、つまり何らかの係数ベクトルB', B''とスカラーC', C''について、

(B'^T x + C')^T(B''^T x + C'')

となるということだろう。これを展開すると、

x^T B'B''^T x + (C''B' + C'B''^T)x + C'C''

となる。このことから、因数分解可能ならば2次項の係数行列はあるベクトルB', B''が存在してB'B''^Tと書けなければならないことがわかる。

ひるがえって、問題7(2)の場合、係数行列を具体的に書くと、

A =

[[4, f, g],

[-f, -9, h],

[-g, 6-h, -1]]

f,g,hは任意の実数

となる。対角成分から、B'=(2,3,1)^T, B''=(2,-3,-1)^T としてみると、f,gについては自明に成立するが、h, 6-hのペアと矛盾してしまう。

h=3なら問題なさそうであるから、B'=(2,3,-1)^T, B''=(2,-3,1)^Tとすれば成立することがわかる。

これで1次項と0次項をあわせにいけるか？C'C''=0なので少なくともC', C''の一方はゼロであるが、問題の式はそもそも1次項も0次項もゼロなので、C'=C''=0とすればよい。

従って答えはB'=(2,3,-1)^T, B''=(2,-3,1)^Tから(2a + 3b - 1)(2a - 3b + 1)である。

これはどういうことだろう？これをさらに一般化するとなんの構造を議論することになるんだろう？イデアルとかそういう話？

Permalink | 記事への反応(0) | 20:25

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