中学生「0.999999... = 1 に納得がいきません.なぜこれが成り立つんですか?」
先生「分数 1/3 を小数で表すと 0.333333... ですね.つまり,
です.両辺を 3 倍すれば
1 = 0.999999...
になります」
っていうのはなんですか?」
先生「1 ÷ 3 を筆算してみればわかるように,商の部分には最初の 0. のあとは
ず〜っと 3 が続きます.その様子を表現したのが 0.333333... です」
中学生「なるほど,ただの表記法ということですね.でもその場合,0.333333... を
3 倍したのが 0.999999... になるのはどうしてですか?」
先生「例えば,0.333 の場合で考えてみましょう.これを 3 倍したら 0.999 ですよね?
0.3333 の場合は 3 倍すると 0.9999 です.これは 0. のあとに 3 が何個ある場合でも成り立ちます」
中学生「ちょっと待って下さい!確かにそうですが,それは 0. のあとの 3 の数が 3 個とか 4 個とか,
一方,この表記法は 0. のあとの 3 の数が ◯◯個あるとはいえません.
だから,それに 3 倍するって計算はできないんじゃないでしょうか?
実際,0. の一番右側の 3 がないから,筆算ができません」
小学生「もっというと,0.333333... がただの表記法にすぎないなら,0.999999... っていうのだって,
0.333333... を 3 倍した数を表記しているだけってことですか?
ただの表記法の問題なのであれば,わざわざ 0.999999... って書かなくたって
0.333333... × 3 = 1 と書けばいいんじゃないですか? 1/3 = 0.333333... なんだから,3 倍したら 1 なんだし.
そう考えてみると,0.333333... × 3 をわざわざ 0.999999... と書く意味はなんなんでしょうか?」
先生「それは,0.333333... × 3 が 0. のあとに 9 が無限に並んでいる数,つまり 0.999999... に
中学生「あれ?0.333333... とか 0.999999... というのは筆算の結果を表現したものではなかったのですか?
でも 0.999999... って何を筆算したら出てくるんだろう?
あ!1 ÷ 1 の筆算で,最初に商に無理やり 0. を立てれば 0.999999... が出てくるけど,だからなんなんだろう?」
先生「ちょっと話がそれてきたので,今までのことは一旦忘れて,別な説明をしてみます.
x = 0.999999... (1)
です.(2) から (1) を引くことで
9x = 9
0.999999... = 1
が成り立つことがわかりました」
中学生「ちょっと待って下さい!なんか騙されている気がします.
まず,10x = 9.99999... というのはなんですか?」
0.999999... は 0. のあとに 9 が無限個続くので,10 倍したものも 9. のあとに 9 が無限個続きます」
中学生「うーん,なんか騙されているような…….
9x = 9 が成り立つのは何故ですか?」
「x = 0.999999... は 0. の後に 9 が無限個あるので,
10 倍したあとも 10x = 9.999999... のように
0. のあとの 9 の数が 3 個の場合を考えてみると,
x = 0.999 (1)'
となって,(2)' から (1)' を引くと
9x = 8.991
よって,x = 0.999 になりますよ!なんで無限個のときはこういうことが起こらないんですか?」
※どう?皆さんは説明できる?
個人的には 0.999999... = 1 が成り立つことを,
中学生のいかなる質問にも対応しながら説明できる割合は(※中学の数学の範囲を超えても良い)
だと思ってる.
2chのスカッとするコピペとか好きそう
かつて理系大学生、数学科学生だった教員なんて相当数いるのに、なんでそんな割合になるんだろ。現役大学生が書いたんだろうか。
さすがに「いかなる」となるとどの立場でも0%じゃないか? テレビで見た未解決問題を先生に振ってみる生徒とかいてもおかしくないし。 自分は先生に振ったことはないが、中二病...
「強い想いは限界を超える。お前たちも自分の限界を感じたらこの話を思い出せ。お前たちの限界は、いつだって「0.9999...」なんだからな…」
こういう子どもが実在するとしたら、数学科に行くんだろうなあって思った ばりばりの理系っつーのかな 自分には全然理解できん世界だわ
有理数も無理数も無限にあるのに無理数のほうがいっぱいあるって意味がわかんないよ。
無限には濃度があって無限同士でも比較できるみたいな解説を誰かがしてくれる
1つの有理数のそばに必ず2つの無理数があるというイメージを思い浮かべたら、 無限個の有理数のそばには、その2倍の無理数があることにならないか? そうしたら、無限個の有理数より...
だとしたら「偶数の隣には必ず奇数が2つあるから(奇数の数)>(偶数の数)」ってのも正しい?
だとしたら「偶数の隣には必ず奇数が2つあるから(奇数の数)>(偶数の数)」ってのも正しい?
数学って数そのものについて研究すると、途端に難易度上がるのは何故なんだ。
この中学生にいくつか聞いてみたい。 0.99999..... - 0.33333.... は計算できますか?と。 つぎに、 1 - 0.33333.... は計算できますか?とも聞いてみよう。 この場合の 0.33333.... は...
数学科の学生は小学校教員、中学校教員になれないの?
え、どういうこと
ムリして入ってこなくていいから
http://i.imgur.com/lW8vh3w.png 増田ってtex使えないじゃん
これさ、マジメに答えるとしたら 1. 一般の循環小数の定義を(無限級数で)与える 2. 上記の特殊な場合として0.333...を考える 3. |1/3-0.333...|が任意のε>0よりも小さくなることを示す で...
先生最初に答え書いてるじゃない。 0.の後にずっと3が続く様子を表すって。 特定の実数を表記した物では無く 数を永遠に繰り返すプロセスを表記したんだから。 普通の数と同じ様に扱...
こまけぇこたぁいいんだよ!!
高校の数列の知識が必要だが、私は下記が一番納得できる。 0.99999...は初項0.9、等比0.1の無限等比級数とみなせる。 そのため、 ■等比が1より小さいときの無限等比級数の公式 a + ar + ar...
まっすぐな線路の上に立って遠くを眺める 2本の線が交わって見えてくる
0より大きく、1より小さい実数の集合Aを考えよう。 0.1も含まれる、0.33333..... も含まれる。でも1は含まれない。 数式で書くとこんな感じだ。 A={ x∈R , 1>x>0 } この集合Aには最大値も...
0.999…が1と等しい事がわからん中学生がいる、っていう増田のエントリ[1]があって、 それに対してわっと氏が「等しいのは公理だから」って返答[2]している。 [1] http://anond.hatelabo.jp/201610...
「0.999999…=1」を理解できるかどうかというのは、「0.999999…」の意味をどう捉えているかの問題だと思う。 「0.999999…」を単に9がたくさん続く数というふうに捉えていると「0.999999…=1...