2016-10-24

0.999999... = 1 が理解できない中学生

中学生「0.999999... = 1 に納得がいきません.なぜこれが成り立つんですか?」

先生分数 1/3 を小数で表すと 0.333333... ですね.つまり

1/3 = 0.333333...

です.両辺を 3 倍すれば

1 = 0.999999...

になります

中学生ちょっと待って下さい!まず

1/3 = 0.333333...

っていうのはなんですか?」

先生「1 ÷ 3 を筆算してみればわかるように,商の部分には最初の 0. のあとは

ず〜っと 3 が続きます.その様子を表現したのが 0.333333... です」

中学生「なるほど,ただの表記法ということですね.でもその場合,0.333333... を

3 倍したのが 0.999999... になるのはどうしてですか?」

先生「例えば,0.333場合で考えてみましょう.これを 3 倍したら 0.999 ですよね?

0.3333 の場合は 3 倍すると 0.9999 です.これは 0. のあとに 3 が何個ある場合でも成り立ちます

中学生ちょっと待って下さい!確かにそうですが,それは 0. のあとの 3 の数が 3 個とか 4 個とか,

もっと多い場合,例えば 100000 個ある場合ですよね?

一方,この表記法は 0. のあとの 3 の数が ◯◯個あるとはいえません.

から,それに 3 倍するって計算はできないんじゃないでしょうか?

実際,0. の一番右側の 3 がないから,筆算ができません」

先生ぐぬぬ

小学生もっというと,0.333333... がただの表記法にすぎないなら,0.999999... っていうのだって

0.333333... を 3 倍した数を表記しているだけってことですか?

ただの表記法問題なのであれば,わざわざ 0.999999... って書かなくたって

0.333333... × 3 = 1 と書けばいいんじゃないですか? 1/3 = 0.333333... なんだから,3 倍したら 1 なんだし.

そう考えてみると,0.333333... × 3 をわざわざ 0.999999... と書く意味はなんなんでしょうか?」

先生「それは,0.333333... × 3 が 0. のあとに 9 が無限に並んでいる数,つまり 0.999999... に

ピッタリ等しいということを表現したいからです」

中学生「あれ?0.333333... とか 0.999999... というのは筆算の結果を表現したものではなかったのですか?

でも 0.999999... って何を筆算したら出てくるんだろう?

あ!1 ÷ 1 の筆算で,最初に商に無理やり 0. を立てれば 0.999999... が出てくるけど,だからなんなんだろう?」

先生ちょっと話がそれてきたので,今までのことは一旦忘れて,別な説明をしてみます

x = 0.999999... (1)

とおきます.これを 10 倍すると

10x = 9.99999... (2)

です.(2) から (1) を引くことで

9x = 9

が出てきます.よって,x = 1,つまり

0.999999... = 1

が成り立つことがわかりました」

中学生ちょっと待って下さい!なんか騙されている気がします.

まず,10x = 9.99999... というのはなんですか?」

先生「x の両辺を 10 倍しただけです.

0.999999... は 0. のあとに 9 が無限個続くので,10 倍したもの9. のあとに 9 が無限個続きます

中学生「うーん,なんか騙されているような…….

9x = 9 が成り立つのは何故ですか?」

先生「(2) から (1) を引いただけです.

「x = 0.999999... は 0. の後に 9 が無限個あるので,

10 倍したあとも 10x = 9.999999... のように

9. のあとに 9 が無限個続くのでこうなります.」

中学生ちょっと待って下さい!それっておかしくないですか?

0. のあとの 9 の数が 3 個の場合を考えてみると,

x = 0.999 (1)'

10x = 9.99 (2)'

となって,(2)' から (1)' を引くと

9x = 8.991

よって,x = 0.999 になりますよ!なんで無限個のときはこういうことが起こらないんですか?」

先生ぐぬぬ

※どう?皆さんは説明できる?

個人的には 0.999999... = 1 が成り立つことを,

中学生いかなる質問にも対応しながら説明できる割合は(※中学数学範囲を超えても良い)

小学校教員 0%

中学校教員 0%

高校教員 5 %

理系大学生 10%

数学科学生 30%

だと思ってる.

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