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はてなキーワード: 自然対数の底とは
自分で参考書を書いてみれば分かりますが、数学の検定教科書はおそろしく完成度が高いです。そのことを具体的な実感をともなって理解できれば、あなたの学力は入試レベルなど優に超えています。
数学の本の出来は、理論の構成で決まります。数学の理論の構成とは、かんたんに言えば定義や定理をどう配置するかと言うことです。どのトピックを載せるか、ある定理を述べるために事前にどのような概念を定義しておく必要があるのか、その定理を証明するために事前にどのような命題を示しておく必要があるのか。トピックの選定が的確で、理論の道筋が明快であるほど、数学書の完成度は高いです。たとえば、余弦定理は重要ですから当然載せます。余弦定理を述べるには三角比を定義する必要があります（鋭角だけではなく鈍角に対しても）。そして、証明には通常、三平方の定理と有名な等式
が必要になります（これも三平方の定理のcorollaryです）。さらに三平方の定理を示すには、ふつうは三角形の相似を使用します。この道筋をいかに最適化できるかに、著者の力量が現れます。もちろん、余弦定理を要領良く示すために他の定理に至る過程が鈍臭くなってはいけません。全体の最適化を考えなければいけないのです。
証明の最適化を図るには、定義から再考しなければいけません。同じ概念であっても、それを特徴づける性質が複数あるなら、どれを定義として採用しても良いですが、それによって効率は違って来るからです。たとえば、ベクトルの内積は
のどちらを定義としても良いですが、後者の場合は別の座標（たとえば、45°回転した座標など）で考えたときに値が同じになるのか疑問が残ります。前者は座標の取り方によらずに定義できています。
この場合はどちらを採用してもそれほど変わりはありませんが、指数関数などは定義の仕方で必要な議論の量はまるで変わってきます。多くの教科書では、自然対数の底
e = lim (1 + 1/n)n -- (☆)
を定義し、そのべき乗として指数関数exを定義します。もちろん結果だけ知っていれば、微分方程式
df/dx = f
を満たすf(x)で、f(0) = 1となる関数としても指数関数を定義することはできます。しかし、このようなfが存在することを、(☆)を使わずに示すのは高校レベルを遥かに超えます。そのようなfが一意的であることも明らかではありません。
以上のようなことを考えるだけでも相当大変ですが、これに加えて検定教科書では、直感的な理解を損ねないことも考慮しなければなりません。高校生が読んで理解できなければならないからです。理論の整合性・効率と教育的配慮の間でバランスを取るという難しいことを、数学の専門家たちが苦心して行い、作成されたのが検定教科書です。このような本は他の参考書にはありません。場当たり的に問題の解き方を解説するだけの本とは格が違います。
数学の検定教科書は極めて洗練されています。教科書の理論構成を把握し、その流れや証明手法に合理性や必然性を見出だせる水準まで理解できれば、入試などは余裕で通過できます。
めんどくさいんじゃなくて、数字を使って書く方法は無いんだけど。。。√2とかを√無しで書けってのと一緒で
数学者というものは 数学上重要な数字やめんどくさい少数は 記号を使って書くという事が多いというルールが数学上存在しているという事だ。
なんか勘違いしてるようだけど、2乗したら-1になる数を"i"って記号で虚数って言うよ、ってこと自体はただの定義であって
でそこからそれをどう使えるかなんだけど。。。それを考え出せって、何も意味ないっていうか
別にX^2=-1の、それにも解はちゃんとあるんだよ、って時点でX=+/-√-1は自明で、
で、√-1ってなんなの、ってのが虚数の導入でしょ？なんか言ってることが違いすぎる。
そうだよ？iが虚数なんて単にそう決めただけ。論理的に"i"だ、なんて導くことは不可能(これは想像(imaginary)な数で数学ではそういった場合頭文字使うかなあ
みたいなことまでヒント出せば出来るけど)
で、あなたは、そこで、X^2=-1からX=√-1を10分考えさせるのが重要だといった。ロジカルシンキングだと。
その意味が未だに全く分かりません。
って めんどくさいよね。だから πって書くよね。という物。教わってるなら自然対数の底とかでもいい。
数学者というものは 数学上重要な数字やめんどくさい少数は 記号を使って書くという事が多いというルールが数学上存在しているという事だ。
つまり、自分が偉人じゃなくても、偉人たちは数学上 難しい数字には記号を付けるという 彼らのルールはわかる。
であれば、√-1 という ものにも 何か記号があるんじゃないか？という発想には自力でたどり着ける。 そこまでたどり着ければ ググれば終了。
ただ、大切なことは、どうやらこの学問には こういうルールが有るらしいであれば、この知らないことも 同じルールを当てはめているのではないか？
この２つを組み合わせれば √-1 ということは分かりますし、おそらく数学上それには呼び名があって 記号が割り振られているのだと思います。
先生が今日する授業は その記号と呼び名についてなのですね？ という 模範解答が出来上がる。
そういうものがロジカルシンキングで 先生それは虚数でiです。というのがただの丸暗記。
推理小説読まずに、いきなり犯人の名前だけ塾で教えてもらったようなもの。
僕はたぶん、同年代の中で何百番目くらいに算数が出来る小学生だった。たぶん『何十番目』には入れない。ただ4桁に落ちることもないと思う。
中学受験して、相応の学校には入った。別にそれが間違いだったとはいわないが、
『周りは皆、自分より出来るヤツ』だったのが思春期の心理に影響を与えなかったとは言い切れない。
（大学に入って自分の出身校を聞かれたときに正直に話すと「全国模試の順位1桁の人が居たりするの？」と聞かれ、「A君とかB君は取ってたと思うけど、みんな気にしてなかった」と言ってさらに驚かれた）
同学年に、数学がものすごく出来るヤツがいた。俺の同級生に『ウチの学年で一番数学出来たヤツって誰？』と聞いたら、8割方そいつの名前が挙がる。
・フィボナッチ数列の一般項を知って、√５が出てくるのが信じられなくて何度も計算し直した。
・自然対数の底eを知っていて、eの定義 lim x→∞ (1+1/n）^n も知っていたが、eが何のためにあるかは知らなかった。
…レベルが違いすぎると思った。
ひまなので憲法の判例（憲法にかんする事件について裁判所が出した判断のこと、憲法というのは中学校の社会科でさんざん習ったあのギョーギョーシイ条文です）をみていますと、何でこんなよくない判断が堂々と出るのかと、ふしぎに思ってしまうものがあります。
一つにはポポロ事件というのがあって、大学生が大学で政治のことについて研究集会をしていたら、近くの警察の人が一般人のふりをしてその集会にもぐりこんだり、学生や先生を尾行（ストーカー）したり、盗聴（！）したりして、何を考えているのか情報収集していたそうです（ちなみにポポロとは集会を開いたサークル名だそうです）。こりゃかなり怖いですよ。なぜ警察がそんなことができるのかわからない。
これについては、憲法に「第２３条 学問の自由は、これを保障する。」という条文があるので、警察が学問の自由を侵害しているということで、裁判になりました。
しかし、裁判所は、くだいて言えば「政治集会は実社会の政治問題の研究であって、まじめに真理を研究する学問じゃないから、23条に当てはまらない。なので警察が活動していたとしても、憲法に反しない」と言いました。
こりゃかなりひどいですね。大体、法学や政治学という学問には、真理はないと言われているし、政治そのものを研究することが学問である、と言えるわけです。法律や政治だけじゃなくても、政治を研究することが学問と言える分野はたくさんあります（経済学、社会学）。なのにそれを言わずに、「政治集会は実社会の政治問題の研究であって、まじめに真理を研究する学問じゃない」などと、誰が見てもトボけたことを言って、警察を勝たせました。これが最高裁判所（裁判所の一番上で、最高のケンリョクを持っています）なのだから、あぜんとします。ちょっと考えれば、政治集会だって学問の範囲だと思い至るのに、警察を勝たせたいがために、考えないふりをして、その一歩手前で考えるのをやめているのです。
憲法というのは、こういうとぼけた都合のいい判断が、判例100選などと言われて、権威のある書物に堂々と載っているような学問です。
ちなみに、上の事件だと、学問の自由だけでなく、プライバシー権の侵害にもなります。たかだか政治思想がどうのこうのというだけで、警察の人に尾行されたり、情報収集されたりするのでは、安心して生活も出来ません。あなたが誰にも見られていないと思っていることでも、この社会には本当はすべてお見通しということがあるようなのです。上の事件は、あなたには関係ないよその世界のことではないんですよ。言ってみれば、知らないうちにあなたの生活が（自室でやっていること、風呂トイレまで全て）全部見られていたにひとしいような事件なんです。「へー、そうなんだー」なんて言っている場合じゃありません。
どうしてこんな明らかに憲法違反なことが、この社会にはまかりとおっているんでしょうか。みなさん、もっと真剣に考えてみてはどうでしょうか。
基礎科学好きは、多かれ少なかれ、変人奇人の集まりである。というか、変人奇人でないと、務まらない。そして、日本は昔から基礎科学に冷たい。そんなものが、何になるのか。そんなことしたって、食えないよ。はっきりとは言わないまでも、暗黙に社会がそういっている節があるのは、社会に敏感になれば枚挙に暇がない。しかも、変人奇人というのは、融通が利かないから、世間から疎外されると、折り合いをつけられずに怒り出す。大人しい人もいるにはいるが、たいていの人は怒っているのではないか。周りがポカポカした陽光の下で、法律や医術で順調に人を食っていて、社会でもそれが奨励される。そんなところで、独りだけ「自然対数の底の超越性の証明」などと格闘していても、今ひとつ満足が行かない。基礎科学でニコニコしているのは、生まれつき温和な性格な人で、ほとんどは、胃に穴を開けているのではないか。
私も、そちらの方である。何だか世間がむかつく。もう「大人」だから、昔に比べたら我慢しているが、ときどき爆発しそうになる。あまり考えつめていると、ノイローゼになるから、最近では開き直って、何事も自分に都合よく解釈し、元気があれば世間を変えてやろうなどと考えている。なに、人間は元々「自分の帝国」の中で生きているものである。世間に合わせるというのが、考えてみれば異常な事態である。自然社会では、「俺のものは俺のもの、お前のものは俺のもの」が正義であるし、自然たる子供の頃だって、思い出せばそんな感じだった。それが初期設定なのである。社会規範を守るのは、仕方がなくてそうするのである。何も日頃から法律条文の精神を理解し、品行良くしている必要はないのだ。実害さえなければ、好きに考えていたっていい。あるときは、喧嘩も辞さない。
世間に言いたいことは、基礎科学という、変人奇人でなければ勤まらない分野があること、そうした分野が長いスパンで社会の根本部分を転轍（大転換）すること、金や時間といった短期的な価値ばかりに目を向けるな、ということ。
男女関係なくリア充かどうかが判るかもしれない１つの質問とか、
そのうち始まりそうな勢いだな。
円周率。3.14の次にくる数字は何？
1辺が10cmの正三角形の面積を求めよ。
自然対数の底。2.72の次にくる数字は何？
学歴関係なくインテリかどうかが判るかもしれない１つの質問（完全版）
12+29+51=□
空欄□を工夫して求めなさい。またどのように工夫したかを説明しなさい。
学歴関係なくインテリかどうかが判るかもしれない１つの質問（文系編）
日本国憲法は全何条？
追記: やってることがカブってしまった...
ちょ、ブックマ増えてるしw
そんなことしたら兄ちゃん改定しちゃうぞっ！
| 0.25 | 1/4 |
| 0.301 | log10 2 |
| 0.477 | log10 3 |
| 0.50 | 2/4 |
| 0.683 | 正規分布において±1σに含まれる確率 |
| 0.75 | 3/4 |
| 0.785 | π/4 |
| 0.954 | 正規分布において±2σに含まれる確率 |
| 0.997 | 正規分布において±3σに含まれる確率 |
| 1 | n/n n0 log10 10 |
| 1.12 | 標準数R20の1番目 101/20の近似 |
| 1.25 | 標準数R10の1番目 101/10の近似 約5/4 |
| 1.41 | √2 一夜一夜 |
| 1.60 | 標準数R5の1番目 101/5の近似 |
| 1.73 | √3 人並みに |
| 2.00 | 21 R10の3番目 |
| 2.24 | √5 富士山麓 |
| 2.50 | R5の2番目 |
| 2.72 | 自然対数の底 e |
| 3 | 12/4 |
| 3.14 | 円周率 π |
| 3.15 | R10の5番目 |
| 4.0 | 22 12/3 R5の3番目 |
| 5.0 | R10の7番目 |
| 6 | 12/2 |
| 6.3 | R5の4番目 |
| 8.0 | 23 R10の9番目 |
| 10 | 十進法の底 |
| 12 | 1ダース |
| 16 | 24 16進数の底 |
| 24 | 2ダース |
| 32 | 25 |
| 36 | 3ダース |
| 48 | 4ダース |
| 60 | 5ダース |
| 64 | 26 |
| 72 | 6ダース |
| 96 | 8ダース |
| 128 | 27 |
| 144 | 12ダース |
| 256 | 28 |
| 1024 | 210 |
| 65536 | 216 |
| 1048576 | 220 |
| 16777216 | 224 |
| -273.15 | ℃ | 絶対零度 T |
| 6.626e-34 | Js | プランク定数 h |
| 0.1013 | MPa | 大気圧 P0 |
| 0.75 | kW | 1馬力の近似値 3/4 |
| 1.38e-23 | J/K | ボルツマン定数 k |
| 1.40 | 乾燥空気の比熱比 κ ちょっと混ざったらしいｗ | |
| 4.19 | J/cal | 熱の仕事当量 J 水の比熱に等しい |
| 7.86 | g/cm3 | 鉄の密度 |
| 9.81 | m/s2 | 重力加速度 g |
| 22.4 | L/mol | 標準状態における理想気体の体積 V0 |
| 25.4 | mm/inch | 1インチの長さ |
| 299792458 | m/s | 光速 c |
| 6.022e23 | mol-1 | アボガドロ数 NA |
他。
