相手側両親(及びその周辺の方々)には、増田たちの主張が
「一緒に住みたいが(今は)結婚したくない」
といっているように見えるのだと思います。二人の主張が「恋愛」の延長戦上での「遊び・結婚ごっこ」で、美味しい所だけつまみ食いするような不真面目さ、と捉えられる以上は、そのままでは相互に理解を深めるのは難しいんじゃないかと感じます。
先方両親が「同棲」自体にはケチをつけない、という譲歩をしている以上、一番かんたんな解決は、増田たちが素直に「婚約」するということと思いますね。相手方両親のおっしゃるとおり「けじめ」として。
増田が、「婚約」に忌避感をもちつつ「同棲」したい、というのは、別れる可能性を考慮してのことなのでしょうか。
特に、恋愛結婚至上でなく、身上書・見合いを中心とした結婚観をもつ方々は、同棲関係にある異性がいたという経歴がつくことを、結婚市場における我が子の将来価値の毀損としてとらえると思います。そうなると、「婚約」せず「同棲」のみする、という主張は、一方的にリスクを背負わせる身勝手な主張に聞こえることになりますね。新車のディーラーに対して、「一年ほど試乗してから買うか買わないか決めるわwww」と主張して、「ごもっともですね」と言って貰える可能性はゼロでしょう。これは、増田が真面目か不真面目かということでなく、相手からはそう見えている、ということです。分かりますか?
そのリスクに対応する当然の担保として、相手は「婚約」(予約確定)を求めている、そう認識すると、現状が分かりやすいと思いますよ。